פרק ב: כלליהם של "דייני דקיסרי"

1.     הכללים והקשרם בגמרא

בשני מקומות בש"ס נזכרים כלליהם של "דייני דקיסרי ואמרי לה רבנן דקיסרי"  בעניין "עיגולא מיגו ריבועא", דהיינו עגול החסום בריבוע" ו "ריבוע מיגו עיגולא" - עיגול החוסם את הריבוע. בשניהם הם גוררים איתם דיון בגמרא ובמפרשים כיון שדברי דייני דקיסרי תמוהים והקשרם בגמרא אינו ברור כל צרכו.

הסוגיה האחת שבה הובאו דייני דקיסרי היא סוגיית חלון שבין ב חצרות (עירובין ע"ו) המשנה שם אומרת שחלון שהוא בין שתי חצרות אם יש בו ארבעה טפחים על ארבעה טפחים וחלק מהם נמצא בתוך עשרה טפחים התחתונים של הכותל, הרי אפשר לערב בין שתי החצרות כי התנאים הנ"ל מכשירים את החלון להיחשב פתח בין שתי החצרות.

הגמרא באה לדון מה יהא דינו של חלון עגול. בין החצרות צריך להיות פתח ריבוע של ד' טפחים על ד' טפחים שחלק ממנו בתוך י' טפחים תחתונים של הכותל, וכשהוא עגול צריך שיוכל לחסום בתוכו ריבוע שצלעו ד טפחים , כך שגם הריבוע החסום בתוכו, באופן ששתיים מצלעותיו יהיו מקבילות לקרקע ושתים ניצבות לה - יהיה חלק ממנו בתוך עשרת הטפחים התחתונים של הכותל. בחיפוש אחר עיגול כזה אומרת הגמרא:

"אמר ר יוחנן: חלון עגול צריך שיהא בהיקפו כ"ד טפחים ושניים ומשהו מהן בתוך י, שאם ירבענו (יחסום בו ריבוע) נמצא משהו בתוך עשרה"

הגמרא מנסה להבין איך הגיע ר יוחנן לשיעור כזה של 24 טפחים:

"מכדי, כמה מרובע יתר על העיגול רביע"..."מכדי, כל אמתא בריבועא - אמתא ותרי חומשי באלכסונא, ובשיבסר נכי חומשא סגיא"

פירוש הדברים הוא שמכיון שצלע הריבוע היא ד טפחים - הרי אלכסונו, שהוא קוטר העיגול, ארכו חמש ושלוש חמישיות, היקף המעגל גדול - לפי כללי הגמרא - פי 3 מקטרו וא"כ הוא שווה בדיוק ל 16 וארבע חמישיות. על קושיא חזקה זו עונה הגמרא:

"ור יוחנן אמר כי דייני דקיסרי דאמרי לה רבנן דקיסרי דאמרי: עגולא מיגו ריבוע - רבעא, ריבועא מיגו עיגולא - פלגא" 

כלומר, ריבוע החוסם עיגול יתר עליו רביע מהריבוע, העיגול שווה ל 3/4 מהריבוע. ועיגול החוסם ריבוע יתר עליו חצי מהריבוע, הריבוע שווה ל 2/3 מהעיגול. גם ר"י מדבר בריבועא מיגו עיגולא והוא סובר כדייני דקיסרי. ממילא, מחמת שבריבוע דנן, אורך צלעו 4 טפחים והיקפו הוא , משום כך 16 טפחים, הרי שווה היקף העיגול ל 3/2 מהיקפו של הריבוע - 16 טפחים ועל כן שווה היקף העיגול ל 24 טפחים (16 כפול 2/3) המספר שנקט ר' יוחנן.

פירוש דברי ר' יוחנן "ושניים ומשהו בתוך י טפחים" לאור העובדה שהוא סובר כדייני דקיסרי, שנוי במחלוקת.

רש"י פירש שהקשת צריכה להיות כולה בתוך י טפחים יחד עם עוד "משהו" כדי שחלק מהריבוע יהיה בתוך י טפחים וכשאמר ר' יוחנן "ושנים ומשהו מהן" התכוון לקשת "ומשהו" ועל הקשת אמר שהיא ארוכה שני טפחים.

פירוש זה הוא תמוה מאוד שהרי המעגל כולו מורכב מארבע קשתות ואם הקשת הנ"ל 2 טפחים - הרי היקף המעגל כולו אינו אל שמונה טפחים בעוד שהוא 24 טפחים.

אפשר לדחוק ולומר שכוונת ר' יוחנן לפירוש רש"י הייתה ליתרון הקשת על המיתר, שמכיוון שקשת AB ארכה 6 טפחים ומיתר AB ארכו 4 טפחים - יתרה הקשת על המיתר בשני טפחים ולאלה כיוון ר' יוחנן. ( לקמן סעיף 4 יבוא ישוב נוסף לשיטת רש"י)

הדוחק שבשיטת רש"י גרם לכך שהתוספות לא קיבלו את פירושו והביאו את פירוש הריב"ן לדברי ר יוחנן: "שניים ומשהו מהן בתוך י טפחים" (וכן מובא בכמה ראשונים). כונת ר' יוחנן היא שגובה החלון , דהיינו , אותו חלק מהרדיוס הניצב לקרקע, המתבטא בציור באותיות CD, הוא יהיה באורך שני טפחים והוא ועוד משהו מהחלון, כלומר מאותו הרדיוס, יהיה בתוך עשרה. לפי כללי דייני דקיסרי יהיה ארכו של CD שני טפחים שהרי הקוטר הוא 8 טפחים (24/3) והרדיוס - 4 טפחים. OD שווה ל 2 טפחים וממילא CD שווה אף הוא לשני טפחים באורכו.

הסוגיא המקבילה לסוגית חלון עגול ושגם בה נזכרו כללי "דייני דקיסרי" היא סוגיית "סוכה העשויה ככבשן" כלומר, סוכה עגולה. גם בסוגיה זו נאמר הדין ע"י ר' יוחנן. ר' יוחנן אומר שלרבי הסובר שכל סוכה שאין בה ד אמות על ד אמות פסולה - אם יש בהיקפה של סוכה עגולה כדי ליישב בה כ"ד בני-אדם - כשרה, ואם לאו - פסולה.

הגמרא מניחה ש"גברא באמתא יתיב", כלומר מקומו של אדם הוא אמה, כדי שישב ברווח ור יוחנן דורש שבתוך הסוכה, כלומר היקפה יהיה 24 אמות. כאן חוזרת כל השקלא והטריא של סוגיית "חלון בין ב חצרות" עד לקושיא: "בשיבסר נכי חומשא סגיא!" כאן מנסה הגמרא לתרץ : "לא דק" אלא שעל זה מקשים: "אימור דאמרינן לא דק - פורתא, טובא - מי אמרינן?"

הגמרא מנסה לתרץ גם שמקומו של אדם 2/3 אמה וא"כ תופסים 24 איש 16 אמות, אלא שגם על זה קשה לה ששיעור זה אינו מדוייק, ולקולא שיבוא להכשיר סוכה של 16, על אף שיש צורך ב 16 וארבע חמישיות.

תירוץ אחר מובא בגמרא בשם רב אסי: " ולעולם גברא באמתא יתיב ור יוחנן - מקום גברי לא קחשיב; האנשים ש ר יוחנן מדבר עליהם עומדים מחוץ לסוכה לא בתוכה, וכל אחד מהם תופס אמה על אמה כפי שסברנו בתחילה. קוטר העיגול כולל גם את האנשים הוא באמת 8 אמות והיקפו הוא 24 אמות אבל קוטר הסוכה קטן מקוטר עיגול זה שתי אמות, אחת מכאן ואחת מכאן, דהיינו 6 אמות.

 היקף הסוכה יהא, לפי זה , 18 אמות ואע"פ שלא דק - לחומרא לא דק ויכשירו סוכה עגולה רק מ 18 אמה ואילך אף שמ 16 וארבע חמישיות כבר כשר.

לבסוף מביאה הגמרא את דברי דייני דקיסרי, לפי הפירוש הפשוט, כתירוץ נוסף על קושית הגמרא על דברי ר' יוחנן, במקביל לתירוצה בסוגיית חלון. לבסוף קובעת הגמרא ביחס לדברי דייני דקיסרי "ולא היא". דבר זה יתבאר בסעיפים הבאים.

2.התימה שבדברי דייני דקיסרי

החלק הראשון של דברי דייני דקסרי - -עיגולא מיגו ריבועא - ריבעא" הוא נכון וברור לפי הכללים שבידנו, שהרי היקף העיגול שמיגו הריבוע הוא מכפלת הקוטר בשלוש והיקף הריבוע הוא מכפלת הקוטר בארבע. נמצא היקף הריבוע מתייחס אל היקף העיגול כמו 4:3 וזהו מה שאמרו דייני דקיסרי "שעיגולא מיגו ריבועא - ריבעא" , כלומר, היקף הריבוע חסר ריבעא, ז"א שהעיגול הוא שלושה רבעים מהריבוע בהיקפם. הדברים הללו הובאו במפורש במשנה אהלות פרק י"ב משנה ו :" שהמרובע יתר על העיגול רביע"

אולם החלק השני של דבריהם תמוה מאוד והוא הגורם לפלא שבדברי ר' יוחנן ההולך בדרכם. דייני דקיסרי סוברים ש"ריבועא מיגו עיגולא - פלגא" דהיינו, להוסיף לו חצי ממנו, מהיקפו, וכך יתקבל שיעור המעגל החוסם. פירושם של דברים הוא שעיגול החוסם ריבוע מתייחס לריבוע כמו 3:2.

הרבה מפרשים תמהו על דבר זה, איך ייתכן שדייני דקיסרי טעו טעות כה חמורה, שהרי כבר בהסתכלות ראשונה רואים שאין הכלל נכון.

המחשה לזכות שבדברי דייני דקיסרי הראו התוספות במסכת סוכה [ דף ח ע"ב ד"ה "ריבועא"] שלפי דבריהם יצא שאלכסון ריבוע שווה לשתיים מצלעותיו. ז"א: "כל אמתא בריבועא - תרי אמות באלכסונא" שהרי אם נשים את הריבוע שלנו בגו עיגול , יהא היקף העיגול פי 1.5 מהיקפו ומכיון שהיקף הריבוע הוא כפולת 4 של צלעו - יהא היקף העיגול גדול פי 6 מצלע הריבוע. אלכסון הריבוע שהוא קוטר העיגול יהא שווה לשליש ההיקף , דהיינו 2 פעמים אורך צלע הריבוע. נמצא שצלע ריבוע קטנה פי שתיים מאלכסונו.

קושיא שנייה שהקשו התוספות על דבריהם היא שסגנון דבריהם אינו אחיד, שהרי בתחילת דבריהם אומרים הם שהמרובע יתר על העיגול רביע מלבר, רביע מהצורה הגיאומטרית החוסמת, ובסוף דבריהם אומרים הם שעיגול יתר על הריבוע החסום בתוכו פלגא מהצורה הגיאומטרית החסומה - מהריבוע.

3.פירוש התוספות

בגלל הקושיות האלו מפרשים התוספות פירוש מחודש בדברי רבנן דקיסרי. הם מסבירים שדייני דקיסרי דברו דבריהם בשטח ולא בהיקף ואמרו ששטח העיגול מיגו דריבועא קטן ברביע משטח הריבוע החיצוני;

ושטח הריבוע שבתוך אותו עיגול קטן בפלגא מהריבוע החיצוני. דהיינו בשליש מהעיגול. הרישא של דברים נכונה, אמנם, גם בהיקף , אולם לא על כך רצו להצביע.

יובן איפא מדוע אמרו "עיגולא מיגו ריבועא - פלגא" ולא "תילתא" שכן לא כיוונו דבריהם ליחס שבין הריבוע לעיגול החוסמו אלא בינו לבין הריבוע החיצון, ואדרבה, דייני דקיסרי רצו לדייק בלשונם וכדי לשמר על מתכונת דבריהם הוסיפו ודברו על היחס לריבוע החיצוני. מתוך שני הכללים יוכל השומע להסיק גם את היחס שבין הריבוע לעיגול החוסמו 2:3.

הריבוע הפנימי שווה בשטחו לחצי הריבוע החיצון כיון שצלעותיו מחלקות כל אחד מארבעת הריבועים הקטנים המרכיבים את הריבוע החיצוני, לשני משולשים חופפים שאחד מהם נמצא בתוך הריבוע הפנימי ואחד - מחוצה לו. הואיל והריבוע הפנימי שווה לחצי החיצון והעיגול ל 3:4 מהחיצון - הרי היחס ביניהם הוא 2:3.

מעניין שיסודות דברי התוספות בעניינינו נמצאים גם בסוגיות אחרות. עצם ההסתכלות על ריבוע בתוך ריבוע נמצאת בתוספות בכמה מקומות (דף נ"ו ע"ב ד"ה "כמה מרובע")

פירוש התוספות מבאר לנו נקודה לשונית נוספת בדברי דייני דקיסרי, מחוץ למה שהראו התוספות עצמם. לולא דברו רבנן דקיסרי על שטחים של העיגול והריבועים , היה להם לומר כללים אלו בפשטות, ומכיוון שבשטח אנו עוסקים, הרי שלפי דרכם של חז"ל הדרך הפשוטה ביותר להביע את שטחו של עיגול היא השוואתו לריבוע, שכן חכמינו לא היו רגילים לדבר על רדיוס מעגל אלא על קוטרו.

לפי פירושם של התוספות לא מובן ההקשר של דברי דייני דקיסרי בגמרא. בעיה זו פותרים התוספות בדרך מוקשה למדי. הם אומרים שר' יוחנן בסוגית חלון והסוכה העשויה ככבשן, שאמר כשהביא את דברי דייני דקסרי " ולא היא דהא קא חזינן דלא הוי כולי האי" טעו בהבנת הדברים, שכנראה, עברו מדור לדור תוך שינון בעל-פה ללא הבנה וסברו שדייני דקיסריה אמרו את דבריהם לעניין היקף הצורות. ר' יוחנן לא סובר כמותם אבל אמר את דבריו לפי דעתם כפי שהבין אותם. לפי זה מובנת הלשון בגמרא: " ר' יוחנן אמר כי דייני דקיסרי" ולא "סבר". ר' יוחנן אמר את דבריו לשיטתם אך הוא עצמו אינו סובר כמותם.

4. פירוש הגר"א

תירוץ התוספות הוא הקשה ביותר מכיון שעל ידיו הוסרו תלונותינו מדייני דקיסרי ועברו אל ר' יוחנן והתלמוד בסוכה עגולה. אם לנו הוקשו דברי ר' יוחנן ולא יכולנו לקבלם ביחס להיקף, איך יכלו הם לתלות טעות כה גדולה ברבנן דקיסרי. חריפות התמיהה על דברי התוספות הובעה בדברי בגר"א בביאורו (שולחן ערוך, ארח חיים סימן שע"ב סעיף קטן י"ג) ובהגהותיו על הסוגיא שכתב :"וחס ושלום שטעו".  תגובה כזאת בדברי האחרונים על הראשונים היא דבר נדיר השמור רק למקרים בהם אין מנוס מהקושיא.

מפאת חומרת הקושיא פירש הגר"א פירוש משלו, כך שלא נזדקק לומר שבעלי הש"ס ור' יוחנן טעו טעות גסה כזו. כפי שמשתמע מדבריו (שיש בהם קצת גמגום וחיסור) מקבל הוא את פירושם של בעלי התוספות שרבנן דקסירי עסקו בשטח, וביחס לריבוע החיצון אלא שאעפ"כ הבין ר' יוחנן את דברי דייני דקיסרי כראוי. וכך הוא מהלך הגמרא:

ר' יוחנן אמר שהיקף החלון צריך להיות כ"ד טפחים, ועל זה שאלה הגמרא את כל שאלותיה. על השאלה האחרונה : " בשיבסר נכי חומשא סגיא" השיבה הגמרא שזה אמת שדי ב 16 וארבע חמישיות, וגם ר' יוחנן לא חולק על זה אלא שר' יוחנן כשדיבר על היקף העיגול, הייתה כוונתו להיקף הריבוע החיצון. ולמה דיבר על היקף הריבוע ולא על היקף העיגול עצמו? על זה משיבה הגמרא:" ר' יוחנן אמר כי דייני דקיסרי.."

כלומר, כשם שדייני דקיסרי כשעסקו בריבועא מיגו עיגולא מיגו ריבועא, אמנם לעניין שטח, ייחסו את הערכים שנתנו לריבוע חיצון, כך עשה ר' יוחנן כאשר דיבר על דבר אחר - על ההיקף, וייחס גם הוא את ערכיו לריבוע החיצוני. גם פירוש זה יוכל להסתייע בלשון "אמר כי דייני דקסרי" שמשמעותו - אמר את דבריו באותה צורה שבה אמרו הם את דבריהם, ביחס לריבוע החיצוני.

עכשיו מראה הגאון איך מגיעים לכך שהיקף הריבוע החיצון הוא 24 טפחים. קוטר העיגול שהוא אלכסון הריבוע הפנימי וצלעו של החיצוני שווה ל 5 ושלוש חמישיות, לפי הכלל: " כל אמתא בריבועא אמתא ותרי חומשי באלכסונא" ואם כן היקף הריבוע החיצוני הוא 22 ושתי חמישיות האמה (מכפלת 4 בחמש ושלוש חמישיות). ר' יוחנן לא דק ונקט בחשבונו אמות שלמות , ולכן אמר כ"ד טפחים שהם בדיוק ארבע אמות (אמה=6 טפחים) , אמה לכל צלע.

בזה לא חרג ר' יוחנן מכללי לא דק: "אימור דאמרינן לא-דק פורתא" וכן "אימור דאמרינן לא דק לחומרא" שהסטיה איננה גדולה והיא חומרא שצריף היקף קצת יותר גדול.

(כלל לא-דק מופיע בהרבה מקומות בש"ס כמו בסוכה דף ח)

הגר"א מוסיף עוד נקודה שמקטינה את אי- הדיוק ואמר שכיון שידוע ש 2√ גדול משתי חמישיות וש 2√ שווה בערך לאחד ותרי חומשי ועוד אחד משמונים, הרי נוכל לדייק יותר ב 2√ ולכפול את הערך הנ"ל ב 4 כדי לקבל את אורך האלכסון- הקוטר- הצלע ושוב ב 4 כדי לקבל את היקף הריבוע החיצוני ואז נקבל ערך מדוייק יותר וקרוב יותר ל 24, 22 ושלוש חמישיות.

את דברי ר' יוחנן "ושניים ומשהו מהן בתוך עשרה" מפרש הגאון שכוונתו לקשת אב (האותיות הן לפי הסימון שלו) שהיא צריכה להיות שני טפחים ומשהו. והמשהו הזה הוא חצי חומש הטפח (כלומר עשירית) . מכיוון שהמעגל מכיל שמונה קשתות השוות ל אב (שהיא חצי מרבע המעגל) הרי כל המעגל מכיל בדיוק "שיבסר נכי חומשא" טפחים , שלפי פירוש זה גם ר יוחנן מודה שהיקף העיגול הוא 16 וארבע חמישיות.

חלק זה של הפירוש הוא דחוק מכיון שעד עתה דבר ר' יוחנן על הריבוע החיצוני ומדוע עבר לדבר על העיגול?

ר' שמואל, אחד מצאצאי הגר"א שהוציא את ספרו המתמטי של הגר"א וקראו "איל משולש" הוסיף אליו בתחילתו את פירושו לסוגיתנו. תוך הדיון הביא את דברי הגר"א על סוגיא זו של חלון עגול והקשה עליה שלש קושיות:

האחת היא, " ריבוע חיצון - מאן דכר שמיה?" למה לו לר' יוחנן לנהוג כרבנן דקיסרי ולייחס את הערכים השונים לריבוע החיצון. הם נצרכו לזה כי עסקו בשטח אבל ר יוחנן עסק בהיקף וא"כ היה מיחס בפשטות את הערכים להיקף העיגול.

קושיא שנייה הקשה, שלפי הגר"א די בכ"ב טפחים וג' חומשים, ולמה אמר ר' יוחנן כ"ד טפחים (קושיה זו תירצנו למעלה ש ר' יוחנן רצה לתת את שיעורו באמות שלמות)

עוד הקשה בשלישית, למה לפי פירוש הגר"א דיבר ר' יוחנן על קשת אב, היה לו לתת שיעור לכל הקשת שתחת הריבוע שהיא כפליים מ אב ולומר שהיא צריכה להיות ד טפחים ומשהו.

( בגלל קושיות אלו מביא ר' שמואל פירוש חדש בסוגיא והוא מעיד עליו "שהראיתיו לפני גדולי הדור וקלסוהו" בפירוש זה מכוון הוא לדברי המאירי ולדברים שהובאו בשו"ת ולראב"ד בשם הרי"ף שיתבארו בסעיף הבא)

לפי פירוש הגר"א נפרש את ר' יוחנן כך גם ב"סוכה העשויה ככבשן" שלפי תירוץ האחרון, הוא אמר כדייני דקיסרי, את דבריו, שצריך כ"ד אמות בריבוע החיצוני, כמו שפירש בחלון עגול. מה שאמרו שם בגמרא "ולא היא דהא כחזינן דלא הוי כולי האי" נפרש לדבריו שכוונת הגמרא לומר ששיעור זה של כ"ד אינו מדויק כי באמת , היקפו של הריבוע החיצוני הוא רק כ"ב ו ג חומשים.

5.ישובו של הרי"ף

הרי"ף בתשובה [ "תמים דעים" לר' אברהם בן דוד, הועתקה מערבית ללשון הקודש, סימן רכ"ג ] וכן הוא במאירי בסוגיית חלון [ "בית הבחירה" על מסכת עירובין דף ע"ו] מפרש את דברי דייני דקיסרי והקשרם בגמרא בצורה מעניינת, כך שכל הקושיות מיושבות.

הוא מסביר ש ר' יוחנן וגם דייני דקיסרי לא דיברו כלל על היקף אלא על שטח. ר' יוחנן אמר שחלון עגול, צריך שיהא היקפו מקיף שטח של 24 טפחים מרובעים. המקשה לא הבין שר' יוחנן דיבר על שטח העיגול וסבר שהוא עוסק בהיקפו ועל כן הקשה את קושיותיו עד ששאל "בשיבסר נכי חומשא סגיא"

על קושיא זו עונה התלמוד שבאמת סגי בשיבסר נכי חומשא, אל שר"י לא אמר כלום על היקף ודיבר על שטח. ומניין ידע לחשב את השטח? מתוך דברי דייני דקיסרי הנכונים על שטחי שני הריבועים והעיגול, כמו שכבר הראו בעלי התוספות.( סעיף 3)

גם על מה שאמר ר' יוחנן "ושניים ומשהו מהם בתוך עשרה" הוא בשטח שמתוך שטח 24 טפחים צריכים שני טפחים מרובעים להיות בתוך י - וכוונתו לשטח המקטע החסום ע"י המיתר AB והקשת AB. הריבוע החסום בעגול - שטחו הוא 16 טפחים מרובעים (צלעו היא 4 טפחים). העיגול כולו מכיל שטח של 24 טפחים

ועל כן מכילים ארבעת המקטעים שבעיגול שאינם בתוך הריבוע - 8 טפחים מרובעים(24-16) כל מקטע מתוך הארבעה שטחו 2 טפחים מרובעים.

המוציא של ספר "איל משולש" שבהוספתו לספר כיוון בפירוש סוגית חלון לפירוש זה, רצה לתלותו בדעת רש"י שכתב ששנים ומשהו של ר' יוחנן הם בקשת התחתונה. הוא רצה לומר שכוונת רש"י הוא לשטח המקטע הנ"ל.

סוגיית "סוכה העשויה ככבשן" הייתה עשוייה להתפרש יפה לפי דרך זו כי ר' יוחנן אומר שם: "אם יש בה כדי לישב בה כ"ד בני-אדם - כשרה" וניתן לפרש כשיטת הרי"ף והמאירי, שהלשון משתמעת כאילו נתכונה לשטח, אלא ששם אין הסוגיא מחייבת את הדבר והמאירי, שפירש את דברי ר' יוחנן בחלון לעניין שטח, פירש את ר' יוחנן בסוכה, לעניין היקף. הגמרא דנה איך יכול ר' יוחנן לומר שצריך כ"ד אמות ולאחר השקלא והטריא מסיקה הגמרא "ור' יוחנן מקום גברי לא קחשיב" ו "גברא באמתא יתיב" ומימלא היקף הסוכה הוא 18 אמה.

על תירוץ זה העירו התוספות במקום שזה הוא דוחק מיותר שכן בעירובין משמע שההיקף לדעת ר' יוחנן הוא 24 טפחים וצריך לקבל את התירוץ שר' יוחנן אמר כי דייני קיסרי שדבריהם נזכרים גם כאן, ובמקביל בסוגיית חלון. התוספות הלכו בזה לפי שיטתם שר' יוחנן מצריך היקף 24 טפחים לריבוע של 4 טפחים על 4 טפחים אבל לפי המאירי אין תירוץ זה דחוק.

את המשך דברי הגמרא בסוכה: "דייני דקיסרי אמרי:עיגולא מיגו ריבועא..." מפרש המאירי שלא הובאו כתירוץ לר' יוחנן אלא רק "אגב גרירא" כיון שעסקנו בריבועא מיגו עיגולא לעניין היקף הביאו את דבריהם לעניין שטח. לפי התוספות , שהגמרא הביאה את דייני דקיסרי כפירוש נוסף לדברי ר' יוחנן, לומר שהוא סובר כמותם, ולענין היקף, לא מתישבת הלשון, שהיה לה לגמרא לכתוב כפי שכתבה בעירובין: " ר' יוחנן אמר כי דייני דקיסרי" ומתוך הלשון " דייני דקיסרי אמרי" משמע שדבריהם הם עניין בפני עצמו.

על דברי דייני דקיסרי אומרת הגמרא: " ולא היא דהא קחזינן דלא הוי כולי האי". לפי התוספות, זה מובן, הגמרא מקשה איך יכלו דייני דקיסרי לטעות טעות מתמטית חמורה כל כך, אולם לפי המאירי לא מובן מה הקשתה הגמרא על דברי דייני דקיסרי שנאמרו בשטח וכך גם הבינה הגמרא אותם.

לשם תשובה על שאלה זו מפרש המאירי את דברי הגמרא בצורה מיוחדת. הגמרא הקשתה על דברי דייני דקיסרי קושיא מתמטית. הגמרא טענה שהכלל π=3 שלפיו הלכו דייני דקיסרי אינו מדויק כיון שלפי האמת, קחזינן שערכו גדול מ 3 ושהוא שווה בערך ל 3 ושביעית. ממילא יחס שטח הריבוע החוסם לשטח העיגול שבתוכו אינו 4:3 אלא 4חלקי π שהם לפי קירוב של 28:22 דהיינו 14:11 ולפי דברי רבנן דקיסרי הם 14:10.5 וקחזינן שאין הריבוע גדול כולי האי מהעיגול החסום בו(יחס זה של 14:11 נזכר גם בספר"איל משולש"-1 סימן פ)

ואע"פ שבד"כ אין הגמרא מקשה על הדיוק המתמטי שבחישובים הלכתיים המתבססים על π=3 זה משום

"שאין הכיוון מצוי כ"כ" בהלכות וקשה לדייק, ואין הכי נמי שלמעשה יש להחמיר לפי הדיוק האמיתי (לדבר זה בדעת המאירי יש חשיבות לקמן בפרק ה ) ומכל מקום הקשתה הגמרא על דברי דייני דקיסרי כיון שהם לא דברו דבריהם להלכה אלא אמרו כלל מתמטי והיה עליהם לדייק יותר. והוא מוסיף:

 "ועל דרך האמת, כל עיגול שיש ברחבו איזה שיעור - יהיה בהיקפו שלוש כמותו ועוד שביעית, וגם זה בקירוב כי לא יודע בצמצום גמור [ כי הוא מספר לא רציונלי] לפי מה שכתבו חכמים. ולחשבון זה - ( π הוא שלוש ושביעית ) יבוא למבוקש (היקף החלון) יותר משבעה עשר" (לפי חישוב מדוייק 17.74 וכוונת המאירי שעד כאן יש להחמיר למעשה ורק משיעור זה ייחשב, למעשה פתח לשם עירוב)

6. פירוש הב"ח

פירוש נוסף ומיוחד במינו מוצאים אנו בדברי בעל הב"ח [ טור או"ח סימן שע"ב וכן על סוגיית חלון בהגהות הב"ח ] הוא אומר שלפני ר' יוחנן עמדו שני כללים כשבא לדון בחלון עגול. האחד הוא שהחלק שבתוך י טפחים , צריך שיהא על פני כל רוחב הריבוע שצלעו 4 טפחים בתוך החלון העגול, והשני הוא שצריך החלון להיות כזה שאפשר יהיה לעשות בתוכו ריבוע בכל צורה שהיא, שצלעותיו מקבילות או מאונכות לקרקע, או שאלכסוניו מקבילים ומאונכים לקרקע.

משום כך יש , לשיטתו , חסרון בחלון של "שיבסר נכי חומשא", שאף על פי שאם תחסום בתוכו ריבוע ששתים מצלעותיו מאונכות לקרקע ושתיים מקבילות לה ויהיו 4:5 מתוך רדיוסו המאונך לקרקע בתוך עשרה - הרי היא כחלון ריבוע שיש בו 4 טפחים על 4 טפחים שמשהו ממנו תוך י וזה כשר (ציור א) כיון שהקוטר כולו הוא 5 ועוד 3/5 טפחים, מתוכם 4 בתוך הריבוע ונותרו 8:5, 4:5 לכאן ו 4:5 לכאן, מ"מ יהיה פסול מהסיבה השנייה. הרי החלון צריך להיות כזה שאפשר לחסום בתוכו כל ריבוע שצלעו 4 טפחים ואם נחסום בתוכו ריבוע שאלכסונו האחד מאונך לקרקע והשני מקביל לה (ציור ב), אפילו יהיה העיגול-החלון בתוך עשרה טפחים באופן שארבעה טפחים שלמים יהיו ברחבו בתוך י לא תוכל ליצור מאותם ארבעה טפחים ריבוע שכולו חסום בתוך העיגול.

לכן אמר ר' יוחנן , שצריך שיהא בהיקפו 24 טפחים ועכשיו יש לנו עיגול שעומד בכל התנאים (ציור ג) , שכן אם נרבעו באופן ששתיים מצלעותיו מאונכות לקרקע ושתיים מקבילות לה, ודאי כשר, שהרי אפילו בחלון של "שיבסר נכי חומשא" יהיה כשר בצורה כזו.

אולם, אף אם נרבענו באופן שצלעות הריבוע יצרו עם הקרקע זוית של 45 מעלות , הרי אם יהיו בתוך עשרה - 2 טפחים ומשהו יהיה משהו מהריבוע של 4 על 4, ועל פני כל רחב החלון בתוך י טפחים, שהרי קוטר החלון שהוא אלכסון הריבוע הגדול הוא 8 טפחים (24לחלק ל π, במקרה זה 24/3 ) ואורך צלע הריבוע הגדול הוא א"כ 5 ועוד 5/7 (מכפלת 8 ב 5/7) ואורך צלעו של ריבוע זה הוא אורך אלכסונו של הריבוע הקטן כי קדקדי הריבוע הקטן חוצים את צלעות הגדול. אורך צלעו של הריבוע הקטן לפי זה הוא 4 ועוד 4/49 שהוא בערך 4.08 , מה שנקרא בלשון הב"ח "ארבע ומשהו" . אורך הקטר הוא כנ"ל 8 טפחים, שמתוכם 4 בערך הם בתוך הריבוע הקטן, ונשארו בערך 2 טפחים לכאן ושני טפחים לכאן. נמצא שאם שני טפחים ומשהו מתוך הקוטר הניצב לקרקע יהיו בתוך עשרה, הרי יהיה ריבוע של 4 על 4 בקירוב בתוך החלון, שמשהו ממנו, ועל פני כל רחבו יהיה בתוך עשרה וזה הוא החלון המבוקש. ואע"פ שלא דק, כי צלע הריבוע תהיה מעט יותר מארבעה טפחים, לחומרא לא דק ואמר 24, כיון שרצה לתת מספר שלם של טפחים.

ביאור דבריהם של דייני דקיסרי, לפי הב"ח , הוא כתוספות שהם עסקו בשטח העיגול והריבועים ודבריהם נכונים. ומה שהגמרא דימתה דבריהם לר' יוחנן, כך אמרה: לר' יוחנן לא די ב"שיבסר נכי חומשא" כי הוא מדבר על מקרה הדומה למקרה שעליו אמרו דייני דקיסרי את כללם. כשם שהם דברו על שני ריבועים ועיגול הנמצאים זה בתוך זה ואמרו על אחד מהריבועים שהוא חציו של שני, לעניין כל שהוא כן עשה ר' יוחנן. ר' יוחנן דרש שבהיקפו של העיגול יהיו 24 טפחים כיון שהוא חסם בתוך העיגול שני ריבועים, זה בתוך זה, שהאחד מהם הוא חציו של שני לעניין שטח.

פירוש הב"ח דחוק משתי סיבות. ראשית, עיקר דברי ר' יוחנן לפי פירושו, שני הכללים שהנחוהו, חסר מן הספר, שני כללים לא נזכרו ואף לא נרמזו בגמרא.

שנית, אין צורך בריבוע שיהיה חסום בתוך ריבוע החסום בתוך החלון כדי לקיים את הכללים שהנחו את ר' יוחנן , לפי פירושו (ציור ג) , די היה בחלון קטן יותר כדי לקיים את הכללים הנ"ל, חלון שבו יהיה הריבוע הפנימי- הקטן חסום בצד אחד ע"י קשת העיגול ובצד השני ע"י הריבוע, כזה:

7. דין חלון עגול להלכה

להלכה פסקו הרי"ף והרא"ש שיש צורך בעיגול של "שיבסר נכי חומשא" והרמב"ם פסק שצריך שיהא אפשר לרבע בו ריבוע שצלעו 4 טפחים ולא נכנס לחשבונות. שלשתם לא כתבו מה גודל החלק שצריך להיות בתוך עשרה טפחים. "המגיד-משנה" דחק שמה שלא פירשו כמה צריך להיות בתוך עשרה, הוא משום שהחישוב מראה בפשטות (?) שצריך שני טפחים בהיקף לפי חלק מהפירושים, או 4/5 ברדיוס המאונך לקרקע.

לפירוש המאירי וכן לפירוש הגר"א מצריך ר יוחנן עצמו היקף של "שיבסר נכי חומשא" וש 4:5 מהקוטר המאונך לקרקע יהיו בתוך עשרה. לפי התוספות דורשת זאת הגמרא שדחתה את ר יוחנן , הפסק הנ"ל יסבור כאחד מהפירושים הנ"ל.

ב"שלטי-גיבורים " על הריף [הלכות האלפס על סוגייה זו ] מביא להלכה היקף של שיבסר נכי חומשא כך שהקשת של 4 טפחים ומשהו תהיה בתוך עשרה. המשהו הוא 1/5 כי ההיקף כולו הוא 16.8/4=4.2 . זה יתאים לפירוש הגר"א שהוא תולה מה שאמר ר יוחנן "ושניים משהו מהן" בחצי הקשת שבין שני קדקדים מהריבוע החסום וזה מתאים ללשון שב"שלטי-גיבורים"

דברי הרמב"ם שלא פירש כמה זה בדיוק אלא רק אמר ששיעור היקף העיגול הוא כדי להוציא מתוכו ריבוע של ד טפחים על ד טפחים עשויים להיות כמו שכתב המאירי שאין לסמוך על שעורי הש"ס אלא יש להחמיר כפי השיעור האמיתי ; נוכל לומר שגם הרמב"ם נתכוין לזה ולכן לא נתן שיעור מדויק והשאיר לנו את החשוב למעשה כדי שנדייק בכל מקום כפי הצורך. ואע"פ שבד"כ פירש הרמב"ם את השיעורים, כמה הם צריכים להיות, מכל מקום כאן ובעניין סוכה עגולה [הלכות שופר ולולב פרק ד הלכה ז] לא פירש, כי בכל מקום הלך כשיטת הגמראשמתמכת על הכללים "כל שיש בהיקפו שלושה טפחים יש בו רוחב טפח" ו "כל אמתא בריבועא אמתא ותרי חומשי בלכסונא" אף שאינו בדיוק, כדי שלא לבלבל התלמידים בחשבונות אלא כאן בא לאפוקי מרבנן דקיסרי שנתנו כלל מדויק  π=3 ו 7/5= 2√ וכתב ברמז שיש לדייק (אמנם במקומות אחרים משמע שלא כך סבר הרמב"ם)

הב"ח ע"פ דרכו,כתב שאפשר שלהלכה צריך 24 טפחים כר' יוחנן כיון שלדבריו, לפירוש הב"ח, נכונים, שאנו זקוקים לריבוע החסום בתוך ריבוע החסום בעיגול כנ"ל. הוא מוסיף שמהגמרא משמע קצת שאין הלכה כר' יוחנן (כנראה, מתוך כך שהגמרא איננה דוחה בפירוש את הקושיא"בשיבסר נכי חומשא סגיא" ורק אומרת שאפשר להבין את דברי ר' יוחנן לפי דייני דקיסרי - ר' יוחנן אמר כי דייני קיסרי, שמשמע שאע"פ שאין הלכה כמותו, אפשר להבין את דבריו) על כל פנים כך היה משמע לדעתו, לרי"ף, לרמב"ם ולרא"ש שפסקו שדי בשיבסר נכי חומשא" שיתכן שפירשו כמותו אלא שסברו שהגמרא לא סברה כר' יוחנן (אמנם לפי מה שהראיתי לעיל פירוש הרי"ף עצמו פירוש אחר) ועכשיו ממשיך הב"ח, ברור למה השמיטו דינו של ר' יוחנן ו"שניים ומשהו מהן בתוך עשרה", שלדעתם שיטת הגמרא, החולקת על ר יוחנן, היא שאין צורך שאותו חלק של החלון שהוא בתוך עשרה יהיה על פני כל הרוחב הריבוע ודי שמשהו יהיה בתוך י ואם נעמיד את הריבוע בתוך העיגול כך שאלכסונו יהיה מאונך לארץ (ציור ב) ואז אפילו יהיה משהו מהעיגול בתוך י טפחים הסמוכים לקרקע - אפשר לערב ע"י החלון הזה.

הטור לא הביא כלל את דין חלון עגול וזה מוסבר ע"י הב"ח בכך שהוא ראה, כפירוש הב"ח, שאפשר להעמיד את דברי ר' יוחנן ולקבלם להלכה אבל ראה מלשון התלמוד שחלק על ר' יוחנן ולכן לא רצה להכניס את ראשו לעניין.

הב"ח מסביר גם מדוע לא רצתה הגמרא לקבל את דברי ר יוחנן שצריך שיהיה על פני רוחב כל החלון:

"ונראה דאע"פ דאין ספק דלא נעלם מןהתלמוד דהכי הוי דעתיה דר' יוחנן, מ"מ דחאוה מהלכה וסבירא להו דבשיבסר נכי חומשא סגי דרואין המרובע שבתוך העיגול בצלעות שוות ואין לנו להוסיף חומשא טפי במידי דאיסוריה מדרבנן"

(לא ברור מדברי הב"ח לעיל באיזה שוויון בין הצלעות מדובר ואיזה חומשא טפי הוסיף ר"י. וה' יאיר עינינו)

על מה שכתב הב"ח שמהגמרא משמע שאין הלכה כר' יוחנן, יש להעיר שההיפך מזה מצאנו בדברי רבנו-תם [ספר הישר לרבנו יעקב תם, סימן שי"א ] שתמה על הסתירה בין שתי הסוגיות שבעירובין משמע שהלכה כר' יוחנן ובסוכה משמע שלא. (מתוך שלפי פירושו של ר"ת , תירצו בסוכה שר' יוחנן סובר כרבנן דקיסרי ודחו אח"כ ואמרו: ולא היא) דברים אלו הם במפורש נגד מה שכתב הב"ח שמשמע מהסוגיא בעירובין שאין הלכה כמותו.

8. ההלכה ב'סוכה העשויה ככבשן'

דברי ר יוחנן בסוגיית סוכה העשויה ככבשן, הם כדעת רבי הסובר ששיעור סוכה הוא רבע אמות על ארבע אמות לפחות, אבל להלכה שדי בסוכה של 7 טפחים על 7 טפחים, די בפחות מזה.

הרי"ף והרא"ש לא הביאו את דין סוכה עגולה להלכה כלל, ונראה שזה היה פשוט להם, שצריך לחשב היקף של עיגול החוסם בתוכו ריבוע שצלעו שבעה טפחים.

הרמב"ם [ משנה תורה בהלכות שופר ולולב פרק ד הלכה ז ] והשולחן ערוך [ שו"ע או"ח סימן תרל"ד סעיף ב ] כתבו שסוכה עגולה צריך שיהא בהיקפה כדי לרבע בתוכה 7 טפחים על 7 טפחים. בכמה ספרים מבואר ששיעור זה הוא 29.4 טפחים כיון שקוטר העיגול אורכו לפי כללי התלמוד, 9.8 טפחים {7 כפול 2√} וממילא היקף העיגול הוא 29.4 טפחים. (9.8 כפול 3)

נמצאנו למדים שלדעת כל הראשונים, סוכה עגולה צריך שיהא בהיקפה כ"ט טפחים ושתי חמישיות * (וכבר נדחו דברי בעל "ההשלמה" [ לר' משולם בן משה מבדריש מתוך גנזי ראשונים על מסכת סוכה ] בעניינו שכתב שצריך שיבסר נכי חומשא אמות כמו בחלון עגול וזה מוקשה כיון שאין הלכה כרבי)

דרך מחודשת מציע גם כאן הב"ח. הוא מדייק מלשון הטור שאומר: "צריך שיהא בו כדי לרבע ז טפחים על ז טפחים" ולא אמר "כדי לרבע בתוכו" שצריך שחלון זה יהיה שווה בשטחו לריבוע של ז על ז ותו לא, ואין צורך שיהא בוא כדי לחסום בו ריבוע כזה, כדעת כל המפרשים, וכפי שפירשו הב"י ושאר נושאי-הכלים בטור עצמו. ואע"פ שר יוחנן, כשדבר על הסוכה עגולה לדעת רבי, לא אמר שהיא צריכה להיות שווה בשטחה לריבוע של ד אמות על ד אמות אלא אמר שהיא צריכה להכיל בתוכה רבוע כזה, כפי שמשמע מהגמרא. זה משום שלדעת רבי צריכים ד אמות בסוכה כדי שתהא כדירה ואז צריכים מרובעות ממש כדירה שהיא מרובעת, לפיכך נחשב כל מה שאינו בתוך הריבוע החסום- כסתום. לא כן להלכה שדי בשבעה טפחים מרובעים כדי שיהיה מקום לראשו ורובו ושולחנו, לפי זה כבר אין קפידא שאותם 49 טפחים מרובעים יהיו דוקא בריבוע, כי האדם אינו מרובע.

אותו דבר צריכים לומר גם ביחס לסוגיות האחרות שבהם יש צורך לחסום ריבוע בתוך עיגול [ ח ע"א בסוכה ו דך ע"ו בעירובין ] מפני שבהן נאמר הדין היסודי בריבוע יש קפידא שזה ישאר ריבוע וכשבא לפנינו עיגול, יש לחסום את הריבוע בתוכו, מה שאין כן בסוכה שיש טעם מיוחד לומר שדי שיהיה העיגול שווה בשטחו לריבוע של 7 טפחים על 7 טפחים.

הב"ח חישב ומצא שלפי דרך זו צריך היקף הסוכה להלכה להיות כ"ד טפחים ושמינית הטפח.

שיעור זה תמוה, מכיון שהחישוב נותן שערך זה הוא כמעט כ"ד טפחים ורביע הטפח, ואפילו לפי כללי חז"ל, הרי השטח צריך להיות 49. שזה נותן רדיוס בקירוב של 4.041. הנותן את ההיקף 24.246 בערך שהוא קרוב מאוד ל 24.25)

מדברי הב"ח משמע ,לכאורה, חידוש גדול להלכה שדי בשטח של 49 טפחים מרובעים וא"כ יצא שסוכה שיש בה טפח אחד על מ"ט טפחים תהיה כשרה וזה לא יתכן. אבל צריך לחלק ולומר שהב"ח חידש את דינו רק בעיגול שמעצם טבעו, יכול אדם להיכנס בו בודאי.

*(כאן יש להעיר שבמאירי על מסכת סוכה נפלה טעות ונדפס בטעות " כב ו ב חומשין" במקום " כט ו ב חומשין" כן העירו "הדרישה" ועוד נושאי-כלים על טעות שנפלה ב"בית יוסף" שהועתק "כט טפחים" וצריך להיות "כט טפחים ושני חומשים [ סימן תרל"ד])