מבוא: מספרים אי-רציונליים בהלכה

בהלכה מצויים חישובים רבים שיש להם קשר ישיר, או עקיף, למספרים בלתי רציונליים. הרבה חישובים בתלמוד ומפרשיו או בפוסקים עוסקים בחישובים כאלה. פעמים שהמדובר בריבוע ששטחו ידוע וצלעו אינה נתונה ופעמים באורכו של אלכסון ריבוע שצלעו נתונה.

רבים גם המקרים בהם עסקו רבותינו ביחס היקף העיגול או שטחו, לקוטרו. בכל שטחי ההלכה מוצאים אנו דיון בערכים אלו, אם בדיני כלאים ואם בהלכות שבת, אם בענייני עירובין, ואם בענייני סוכה, בשיעורי אוהל המביא את הטומאה או בממדיו של מקווה.

עצם מהותה של ההלכה מביא למצב זה. ההלכה מקיפה את כל שטחי החיים והיא מלאה מדות ושיעורים של כל החפצים או השטחים הקשורים במידה כלשהיא לדינים ולהלכות; עד כמה טפחים מותר ומכמה אסור, עד כמה כשר, ומכמה פסול וכדו'. על-כן אין תימה שבחישובים ובמידות נתקלים מדי פעם בפעם גם בערכים אי-רציונליים.

מכאן נובעת גם חומרת הבעיה שבמספרים האי-רציונליים בהלכה. כל סטיה משיעורי התורה או חכמים בעניין מסוים עלולה להביא לאיסור או פסול. בשיעור רגיל . אין הבעיה חמורה , יש למדוד ולדייק. במספרים בלתי רציונליים נוצרת בעיה, שכן כל דיוק וצמצום לא יביא אל הדיוק המכסימלי הנדרש ע"פ ההלכה. חכמים דייקו במידה מסוימת בכל מקום , פעמים שדייקו יותר , ופעמים פחות, פעמים שהלכו לפי כללים ברורים, ופעמים שלא.

במאמרים הבאים נעבור על הסוגיות בש"ס ובמפרשיו העוסקות בחישובים ובערכים אי-רציונליים והנדסיים, יחד עם הדעות השונות להבנתן וליישב את הקושיות הרבות עליהן. נפקד מקומו של דברי בעלי התוספות "רביעית של תורה" על ההבדל בין התלמוד הבבלי לבין הירושלמי ביחס לשיעור רביעית של תורה. הדברים שם קשים ביותר וגם דברי האחרונים שהתלבטו בהם לא הוציאום מן המיצר.

יחסם של המפרשים חוץ מסטיות מועטות אל הדברים הוא יחס של כבוד לתנאים ולאמוראים וכנגדם גם ל"חכמי המידות והתשבורת". בכל מקרה של סתירה בין דברי הש"ס לבין כללי המתמטיקה, השתדלו ליישב את הדברים וכשלא הצליחו, הניחום ב "צריך עיון" או ב"קשיא". אעפ"כ לא נמנעו מלסתור דברי מפרשים אחרים, ופעמים שהנדחה קדם לדוחה במאות שנים. כך למשל כתב התוספות יו"ט (על מסכת כלאים פרק ה משנה ה) על דברי הר"ש שדחה את משפט פיתגורס בגלל דברי המשנה:

"ואם הוקשה לו משנתינו, לא מפני כן יכחיש מה שנראה לעיניים ואפילו דברי חכמי המידות לא הוה ליה להכחיש כי כל דבריהם בנויים על מופתים חזקים אשר אי אפשר לסתרם בשום פנים...הלא תראה בעלי התוספות פרק קמא דעירובין דף י"ד ע"א כתבו..וקשיא שאין החשבון מדוקדק לפי חכמי המידות ע"כ.. ומאי קשיא מחכמי המידות לחכמי הש"ס והיה להם לדחות דברי חכמי המדות מפני דברי חכמי הש"ס כמו שעשה הר"ש...אבל הם ראו שדברי חכמי המידות אמיתיים שאי אפשר לדחותם בשום פנים , והנה זה הוא כמו בשאר מקומות שהקשו התוספות ותמהו בדברים מן הדברים והניחו בקושיא או בתימה ולא מפני כן נזוז מדברי הש"ס אבל נתלה זה בחסרון ידיעתינו מלתרץ..."

אף התשב"ץ (חלק א עניין קס"ו) כתב למתמטיקאי יהודי שרצה לתלות בחז"ל טעות ואי-ידיעה:

" ומה שרצית לתקן דברי חכמי התלמוד שהם לא הבינו ים שעשה שלמה...כמו שהארכת בזה, אני אומר בזה שאתה מתחסד לתקן דבריהם ז"ל שלא יפול מכל דבריהם ארצה"

ובמקום אחר באותו עניין הוסיף וכתב:

 "וכל שכן בענין השיעורים דבחושבנא ושעורא תליא מילתא שאי אפשר לומר שתקצר יד שכלם מהבין מה שהשיגו אוקליד"ס וארשימיד"ש (ארכימדס), להבדיל בין הקודש ובין החול"