הרוצה לידע כמה עומקו של גיא

 מסכת עירובין דף מ"ג ע"ב ד"ה:

 "הרוצה לידע כמה עומקו של גיא מביא שפופרת ומביט בה, וידע כמה עומקו של גיא"

רש"י – מסכת עירובין דף מ"ג ע"ב ד"ה:

"כמה עומקו של גיא מביא שפופרת ומביט בה - ביבשה, וימדוד כמה אמות הוא יכול לצפות בה, ואחר כך ילך על שפת הגיא ויצפה בה לעומקו, ויתרחק לאחוריו עד שיבחין שבמקום שכלה עומקו של גיא שם כלה צפיית השפופרת, שאם יתרחק עוד מעט לא יראה את קרקעית הגיא, וידע שעומקו, של גיא והרחקתו שנתרחק משפתו הוי כמידת צפיית השפופרת".

הרמב"ם – פירוש המשניות להרמב"ם פרק ד' משנה א' ממסכת עירובין:

"... ואיני רוצה להאריך ולהזכיר איך יושג כי זה הדבר בזה העניין ארוך ואפילו באריכות לא יבין זה אלא מי שידע בחכמת התשבורת, וידע מה שיתחייב מן הייחוס בדמיונות הדומין זה לזה, ואיך יצא הצלע שאינו ידוע, כשתדע צלעות אחרות שיהיה להם עניין ומה שישתתף חכמת התשבורת לזו החכמה ימצא זה העניין קרוב ואינו צריך באריכות".

פתרון:

רש"י מציע לנו דרך לפתרון. דרך חישובו את העומק עדיין לא ברורה לנו, אבל לפי רש"י מתוארים שני מצבים, המוצגים בציור הבא. דרך תיאור זה ננסה לחשב את עומק הגיא.

הציור הינו לפי תיאור רש"י באומרו: "ואח"כ ילך לשפת הגיא ויצפה לעומקו" (שלב א'), "ויתרחק לאחוריו עד שיבחין שבמקום שכלה עומקו של גיא שם כלה צפיית השפופרת" ( שלב ב'). עדיין לא ברור לנו מתוך דברי רש"י מהו עומק בגיא AB, שהוא הנעלם בבעייתנו (X).

בשלב א' – על-פי השפופרת ניתן למדוד את זווית הראיה  

ונקבל a1

בשלב ב'  - על-פי השפופרת ניתן למדוד את זווית הראיה  

ונקבל a2 

h – גובה מרגלי הצופה ועד עיניו.

שאלה - על סמך הנתונים: a2, a1, h חשב את עומק הגיא x

מסקנה: חישוב עומק הגיא תלוי בגובה h (הגובה מעיני הצופה עד לקרקע) ובשתי זוויות הראיה: a1 ו- a2