dekulaBa.blog
כשהייתי צעירה, לקח אותי אבי לסמינריון שהעביר בנושא "סוגיות נבחרות במתמטיקה ותלמוד". הוא הציג שתי סוגיות מהגמרא ולימד אותן מההיבט המתמטי שלהן, סוגיה אחת בנושא סוכה עגולה והשנייה בנושא תבשיל בשר שנפל לתוכו חלב. אני זוכרת את ההתלהבות שלו בהעברת השיעור ואת ההתלהבות שחשו הסטודנטים, הסגל ואני הקטנה בתוכם. מושגים בגמרא השתלבו עם מושגים מעולם הנגזרות וחישובי שטחים. שיח תלמודי השתלב עם שיח מתמטי בן זמננו. שני נושאים, שלכאורה מנוגדים זה לזה ושנלמדים בנפרד זה מזה, משולבים אחד בשני ומסייעים האחד בהבנה של השני.
מספרים אי-רציונליים בהלכה
בהלכה מצויים חישובים רבים שיש להם קשר ישיר, או עקיף, למספרים בלתי רציונליים. הרבה חישובים בתלמוד ומפרשיו או בפוסקים עוסקים בחישובים כאלה. פעמים שהמדובר בריבוע ששטחו ידוע וצלעו אינה נתונה ופעמים באורכו של אלכסון ריבוע שצלעו נתונה.
רבים גם המקרים בהם עסקו רבותינו ביחס היקף העיגול או שטחו, לקוטרו. בכל שטחי ההלכה מוצאים אנו דיון בערכים אלו, אם בדיני כלאים ואם בהלכות שבת, אם בענייני עירובין, ואם בענייני סוכה, בשיעורי אוהל המביא את הטומאה או בממדיו של מקווה.
כללים במספרים אי-רציונליים
כל שיש בהיקפו ג' טפחים יש בו רוחב טפח
כל אמתא בריבועא, אמתא ותרי חומשי באלכסונא
הכלל הראשון והחשוב בחישובי עיגולים של קדמונינו הוא ההנחה π=3, שאי הדיוק בה רב למדי, ובלשונם של התנאים: "כל שיש בהיקפו שלושה טפחים יש בו רוחב טפח" (עירובין פרק א משנה ה) כלל זה מנוסח בכללות במשנה אחרת: " שהמרובע יתר על העיגול רביע" (אהלות פרק יב משנה ו) לפי פשוטם של דברים, מדובר שם על היקף עגול והיקף העיגול מוגדר שם ע"פ יחסו להיקף הריבוע החוסם אותו שאין שום קושי במציאתו.
כלל זה נובע אף הוא מן ההנחה π=3 שכן קוטר העגול שווה לצלע הריבוע החוסמו, וכיון שהיקף הריבוע החוסם שווה למכפלת הקטר בארבע והיקף העיגול - למכפלת הקוטר בשלוש [2πr=3*2r] הרי היחס שבין היקפי הריבוע והעיגול הוא 4:3 והמרובע יתר על העיגול רביע ממנו, מהמרובע.
שטח מעגל
הרב מנוח הענדיל, שחי לפני כ- 400 שנה באירופה:
"נצייר עיגול שהוא אצבעיים על אצבעיים ונעשה נקודה באמצעו ונקיף הנקודה בחוטין הרבה סביב, סיבוב אחר סיבוב עד שיתמלא כזה:
תחום ערי לוויים
בספר במדבר לה, א-ה נאמר: "... צו את בני ישראל ונתנו ללויים מנחלת אחוזתם ערים לשבת ומגרשיהם יהיו לבהמתם ולרכושם ולכל חייתם, מגרשי הערים אשר תתנו ללויים מקיר העיר וחוצה אלף אמה סביב..."
ים של שלמה
מסכת עירובין הינה המשך של מסכת שבת ורוב עיסוקה של מסכת זו ברשויות השונות שהוזכרו במסכת שבת ובפרטי דיניהם, וכן בדיני תחום שבת. יש להבין שבזמנים הקדומים מבנה העיר ומיקום הבתים היו שונים מכפי שהם כיום.
כלליהם של דייני קיסריה
בשני מקומות בש"ס נזכרים כלליהם של "דייני דקיסרי ואמרי לה רבנן דקיסרי" בעניין "עיגולא מיגו ריבועא", דהיינו עגול החסום בריבוע" ו "ריבוע מיגו עיגולא" - עיגול החוסם את הריבוע. בשניהם הם גוררים איתם דיון בגמרא ובמפרשים כיון שדברי דייני דקיסרי תמוהים והקשרם בגמרא אינו ברור כל צרכו.
הסוגיה האחת שבה הובאו דייני דקיסרי היא סוגיית חלון שבין ב חצרות (עירובין ע"ו) המשנה שם אומרת שחלון שהוא בין שתי חצרות אם יש בו ארבעה טפחים על ארבעה טפחים וחלק מהם נמצא בתוך עשרה טפחים התחתונים של הכותל, הרי אפשר לערב בין שתי החצרות כי התנאים הנ"ל מכשירים את החלון להיחשב פתח בין שתי החצרות.
שני הפרקים הראשונים במסכת סוכה עוסקים בדיני עשיית סוכה ובמצוות הישיבה בה. אכן, עיקר מצוות חג הסוכות נתפרשו בהרחבה בתורה, אך עם זאת רוב הדינים במסכת סוכה מבוססים על הלכה למשה מסיני ועל מסורת אבות
סוכה העשויה ככבשן
בשני מקומות בראשונים מוצאים אנו פירוט של חישובים וכללים במספרים אי-רציונליים וגיאומטריים, בעיקר ב π , אך גם ב 2√ .
המקום האחד הוא במאירי* לאחר שפירש את סוגיית חלון ["בית הבחירה" על דף ע"ו ע"ב] שאחרי שפירש את הסוגייה כנ"ל ...
חישובים במספרים אי-רציונליים בראשונים
פאי ושורשים לא רציונליים
הגדלה מוגזמת של שורש 2
בית-סאתיים
אלכסון הריבוע
התלבטויות במשפט פיתגורס הכללי
הנוטע ירק
משנת הנוטע ירק ומסקנות הר"ש ממנה
טומאת אוהל גלילי
דיון בטומאת אוהל גלילי
מאירסון חי בדור הקודם בוורשא* והיה אחד מהמון למדניה. שמו התפרסם גם כאחד מראשי "חיבת- ציון" שם. הדבר שיעניין אותנו מתוך מה שהעלה בתלמודו הוא "הערה בחכמת המדידה" שכתב. קונטרס זה נוסף לספר "מבוא התלמוד" לר' ישראל יחיאל מיכל רבינוביץ בתרגומות העברי ע"י המו"ל ים של הספר, על אף שאין לו ול'מבוא התלמוד' ולא כלום, ואף היה פולמוס בין המו"לים והמתעסקים בהוצאת הספר אם מחברו של אותו מאמר היה באמת מאירסון.
כבר במבט ראשון נראה שבעל המאמר קבל את הכשרתו המתמטית מן התלמוד והמפרשים, אולם קלט גם משהו מבולבל מן המתמטיקה של ימינו. בספרו קורא הוא לשורש - 'לאגריטהמע' ומחלק בין שני סוגי נקודות - נקודה בעלת נפח ונקודה חסרת נפח, ועוד כהנה וכהנה, דברים המראים שלא קיבל חינוך מתמטי.
שיטתו של ר' יעקב משה מאירסון ומשמעותה
כמה וכמה מן הקשיים שהובאו בפרקים הקודמים ביחס לחישובים תלמודיים בענייני היקפי העיגולים ושטחיהם, שתורצו בתירוצים שונים איש איש במקומו, זכו לשיטה כללית ביחס לדרכם של חכמים בעסקם בעיגולים, המישבת את רובם ככולם.
אף רעיון זה הגה ר' יעקב משה מאירסון וכללו בקונטרס הצנוע "הערה בחכמת המדידה" (הנספח ל"מבוא התלמוד" לר' ישראל יחיאל מיכל רבינוביץ, פרק ז סעיף 1) רעיון זה הוצע גם ע"י חכם אחר – ר' חיים דוד מרגליות (דבר ישרים, עמודים פח פט), וחזר ונמצא ע"י מתתיהו הכהן מונק. מאירסון הסתפק בנתינת הדברים בקיצור, ר' ח.ד מרגליות הוסיף בהם מעט ביאור ואילו מונק פתח את הרעיון והראה איך הוא משתבץ בדברי הקדמונים במאמרו "שלוש בעיות הנדסיות בתנ"ך ובתלמוד" ( עמ' ריח-רכז)
יישוב לבעיית העיגולים בתלמוד
תנו רבנן: המרבע את העיר עושה אותה כמין טבלה מרובעת וחוזר ומרבע את התחומין , ועושה אותה כמין טבלה מרובעת.
תחום שבת
כמה עומקו של גיא: מביא שפופרת ומבי ט בה - ביבשה, וימדוד כמה אמות הוא יכול לצפות בה, ואחר כך ילך על שפת הגיא ויצפה בה לעומקו.....
הרוצה לידע כמה עומקו של גיא
רב פפא ורב הונא בריה דרב יהושע עריבו רפתא בהדי הדדי. אדאכיל רב הונא בריה דרב יהושע חדא, אכל רב פפא ארבע...
רב פפא ורב הונא
ערוגה שהיא ששה על ששה טפחים זורעים בתוכה חמישה זרעונים בארבע רוחות הערוגה ואחד באמצע....
ערוגה ששה על ששה
שהן אלף ושמונה מאות ושלושים: כיצד קח בידך מאחד ועד ששים וצרף תחילתן לסופן עד האמצע, כגון: אחד וששים הם ס"א שנים ונ"ט הם ס"א....
מנחות של עשרונים
בור שהוא מלא מים שאובין, והאמה נכנסת לו ויוצאה ממנו, לעולם הוא בפיסולו, עד שיתחשב שלא נשתייר מן הראשונים שלושה לוגין
בור מלא מים שאובין
סאה תרומה שנפלה למאה הגביה ונפלה אחרת הגביה ונפלה אחרת הרי זו מותרת עד שתרבה תרומה על החולין
סאה תרומה שנפלה למאה
